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%%%%%%%%%%En tetes%%%%%%%%%%%%%%%%
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\cfoot{Page \thepage}
\lhead{\textbf{Département de Mathématiques}}
\chead{\textbf{CRMEF Rabat}}
\rhead{\textbf{2014-2015}}


%%%%%%%%%Nouveaux environnement%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{exo}{Exercice}[subsection]
\newtheorem{thm}{Théorème}


%%%%%%%%Nouvelles Commandes%%%%%%%%%%%
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\renewcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\vers}{\longrightarrow}
\newcommand{\impliq}{\Longrightarrow}

\begin{document}

\begin{center}
\textbf{{\huge Cotrôle S1}}

\vspace{1cm}

\textbf{{\huge TICE LaTeX}}

\vspace{1cm}

\textbf{{\large Durée: 1h30mn}}
\end{center}

\vspace{2cm}

\tableofcontents

 

\begin{center}

\begin{arabtex}
{\LARGE silsilT tamArIn}
\end{arabtex}
\end{center}


\section{Analyse}
\subsection{Nombre Complexes}

\begin{exo}
Résoudre l'équation $\left(\dfrac{1+iz}{1-iz}\right)^{n}=\dfrac{1+ia}{1-ia}$ où $a\in 
\mathbb{R}$ et $n\in \mathbb{N}$
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre l'équation $$\sin (4x)-\sqrt{3}\sin (3x)+2\sin (2x)=0.$$
\end{exo}
\subsection{Intégration}
\begin{thm}
Si $f:[a,b]\vers \R$ continue, positive. Si $\int_a^bf(t)dt=0$, alors $f=0$ sur $[a,b]$.
\end{thm}
\begin{exo} \textbf{Densité des fonctions en escalier}\\
Soit $ f :[a,b]\vers \mathbb R$ continue telle que pour toute fonction
$g \vers \mathbb R$ en escalier, on a $\int_{a}^b f(t)g(t)dt = 0$. Démontrer que $f = 0$.
\end{exo}
\section{Algèbre}
\subsection{Arithmétique}
\begin{thm}. \textbf{Division euclidienne}.\\

$\forall (a,b)\in\N^2\quad\exists !(q,r)\in\N^2,\; a=bq+r$
 avec $0\leqslant r<b$, $q$ s'appelle le quotient de la division euclidienne de $a$ par $b$ et $r$ son reste.
\end{thm}

\begin{exo}
Montrer les propri\'{e}t\'{e}s suivantes :

\begin{enumerate}
\item  $\forall (a,b,c)\in \N^{3}$ : ( $9$ divise $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ ) $%
\Rightarrow $ ( $3$ divise $a$ ou $b$ ou $c$)

\item  $\forall (a,b,c)\in \N^{3}$: ( 7 divise a $^{3}$ + b $^{3}$+ c $^{3}$
) $\Rightarrow $ ($7$divise $abc$ )

\item  $\forall n\in \N$ on a : $6$ divise $5n^{3}+n$
\end{enumerate}
\end{exo}
\subsection{Matrices}
\begin{exo} \textbf{Matrices stochastiques}.\\
Soit $\mathcal{S} = \left\{ A=(a_{ij}) \in \mathcal M_ n(\mathbb R) \text{ tel que } \forall\ i,j,\ a_{ij} \ge 0
      \text{ et } \forall\ i,\ \sum_{j=1}^n a_{ij} = 1 \right\}$.
\begin{itemize}
\item Montrer que $\mathcal{S}$ est stable par multiplication.
\item Déterminer les matrices $A \in {\cal S}$ inversibles telles que
    $A^{-1} \in \mathcal{S}$.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo} \textbf{Algèbre de matrices}.\\

On note $U = \begin{pmatrix} 1   &\dots &1   \cr
               \vdots &&\vdots \cr
               1   &\dots &1   \end{pmatrix} \in \mathcal M_n(\mathbb R)$
     et ${\cal A} = \{ aU + bI,\ a,b \in \mathbb R \}\quad (n \geq 2)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que ${\cal A}$ est une sous algèbre commutative de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
\item Soit $M = aU+bI \in {\cal A}$. Montrer que $M$ possède un inverse dans
    ${\cal A}$ si et seulement si
    $b(b+na) \ne 0$, et le cas échéant, donner $M^{-1}$.
    
\item Montrer que si $b(b+na) = 0$, alors $M$ n'est pas inversible dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
\item Trouver les matrices $M \in {\cal A}$ vérifiant : $M^n = I$.
\end{enumerate}


\end{exo}
\section{Géométrie}

\begin{center}
\textbf{\begin{LARGE}
\begin{arabtex}
lA.hqA
\end{arabtex}
\end{LARGE}}
\end{center}

\section{Probabilités}

\begin{center}
\textbf{\begin{LARGE}
\begin{arabtex}
mostqblA
\end{arabtex}
\end{LARGE}}
\end{center}

\vspace{3cm}

\hrule
\begin{center}
\textbf{\begin{LARGE}
\begin{arabtex}
.h.z s`iId
\end{arabtex}
\end{LARGE}}
\end{center}
\hrule 


\end{document}