On a: limt® 0+ [(1-e-t)/t]=1, donc la fonction est prolongeable par continuité sur l'intervalle [0,a] et par suite intégrable sur l'intervalle ]0,a] .
On a: limt® +¥ t2[(e-t)/t]=limt® +¥ te-t=0, donc t® [(e-t)/t] est négligeable devant t® [1/(t2)] en +¥ or t® [1/(t2)] est intégrable sur l'intervalle [x,+¥[, donc t® [(e-t)/t] l'est aussi .
Dans la suite , j désigne la fonction définie sur \mathbb R *+ par j(x)=òx+¥[(e-t)/t]dt .
On a: [(e-t)/t] > 0 "t Î [x,+¥[, donc j(x)=òx+¥[(e-t)/t]dt > 0, d'autre part: [(e-t)/t] < [(e-t)/x] "t Î ]x,+¥[, donc j(x)=òx+¥[(e-t)/t]dt < j(x)=òx+¥[(e-t)/x]dt=[(e-t)/x], donc on a montré que , pour tout réel strictement positif x on a : 0 < j(x) < [(e-x)/x] .
"x Î \mathbb R *+,j(x)=ò1+¥[(e-t)/t]dt-ò1x[(e-t)/t]dt est dérivable comme différence d'une constante, ò1+¥[(e-t)/t]dt et d'une primitive ò1x[(e-t)/t]dt de [(e-x)/x], avec "x Î \mathbb R *+,j¢(x)=[(e-x)/x].
j(x)+lnx=òx+¥[(e-t)/t]dt+òx+¥[1/t]dt = ò1+¥[(e-t)/t]dt-òx1[(1-e-t)/t]dt tend vers C=j(1)-ò\nolimits 01[(1-e-t)/t]dt quand x tend vers 0+, notez bien qu'on a utilisé les intégrales ò\nolimits 01[(1-e-t)/t]dt et ò1+¥[(e-t)/t]dt qui sont bien définis puisque associés à des fonctions intégrables d'aprés les questions précédentes.
Une simple utilisation de la relation de Chasles pour intégrales donne pour tout x > 0, j(x)+lnx=C+ò0x[(1-e-t)/t]dt.
D'autre part: pour tout t > 0,n Î \mathbb N * on a: e-t=åk=0n[((-1)ktk)/k!]+Rn(t), série alternée, avec |Rn(t)|\leqslant[(tn+1)/((n+1)!)], donc ò0x[(1-e-t)/t]dt=ò0x( åk=1n[((-1)k-1tk-1)/k!]-[(Rn(t))/t])dt = åk=1nò0x[((-1)k-1tk-1)/k!]dt-ò0x[(Rn(t))/t]dt=åk=1n[((-1)k-1)/k][(xk)/k!]-ò0x[(Rn(t))/t]dt , or |ò0x[(Rn(t))/t]dt|\leqslantò0x|[(Rn(t))/t]|dt\leqslantò0x[(tn)/((n+1)!)]dt=[(xn+1)/((n+1)(n+1)!)]dt® 0 quand n® +¥ pour x > 0 fixe, car les puissances sont négligeables devant les factoriels. Donc quand n®+¥ avec x > 0 fixe, on obtient: ò0x[(1-e-t)/t]dt=åk=1n[((-1)k-1)/k][(xk)/k!] et on peut en déduire que
j(x)+lnx=C+
+¥ å
k=1
(-1)k-1
k
xk
k!
.
Montrons d'abord que j est intégrable sur ]0,+¥[, en effet d'aprés les questions 2.a et 1.b on peut affirmer que j est intégrable sur [1,+¥[ et d'aprés la question 2.d et vu que åk=1+¥[((-1)k-1)/k][(xk)/k!] ~ x au voisinage de 0, on peut affirmer aussi que j(x)+lnx ~ C+x au voisinage de 0, or x® C+x et x® lnx sont intégrables sur ]0,1],(òx1|lnt|dt=1+xlnx-x) donc j est intégrable sur ]0,+¥[ et par suite yx:® j(|x|) est intégrable sur les deux intervalles ]-¥,0[ et ]0,+¥[ .
Pour tout x Î \mathbb R , on a |eixty|\leqslant|j(t)| et t® |y| intégrable sur les deux intervalles ]-¥,0[ et ]0,+¥[, donc t® eixty(t) l'est aussi donc les intégrales I1=ò0+¥eixtydt et I2=ò-¥0eixty(t)dt ont un sens et donc [^(y)](x)=I1+I2 a un sens.
D'autre part: [^(y)](x)=ò-¥+¥eixty(t)dt=ò0+¥[1/2]eixtj(t)dt+ò-¥0[1/2]eixtj(-t)dt=ò0+¥[1/2]eixtj(t)dt+ò0+¥[1/2]e-ixuj(u)du=ò0+¥[1/2]eixtj(t)dt+ò0+¥[1/2]e-ixtj(t)dt=ò0+¥j(t)cos(xt)dt.
La fonction x:(x,t)® j(t)cos(xt) est intégrable sur ]0,+¥[ par rapport à t pour x fixé, elle est de classe C¥ sur \mathbb R par rapport x dont la dérivée n-ème est [(¶nx)/(¶xn)] :t® tnj(t)cos(xt+n[(p)/2]), on a |[(¶nx)/(¶xn)](x,t)|\leqslanttnj(t) "t Î ]0,+¥[ . Montrons alors que t® tnj(t) est intégrable sur ]0,+¥[, en effet au voisinage de 0 on a: tnj(t)+tnlnt ~ Ctn+tn+1, or t® tnC+tn+1 et t® tnlnt sont intégrables sur ]0,1] donc t® tnj(t) est intégrable sur ]0,1] et par suite x: t® tnj(t) est intégrable sur ]0,1], et donc t® [(¶nx)/(¶xn)](x,t) est aussi intégrable sur ]0,1].
D'autre part, d'aprés la question 2.a 0 < tnj(t) < tn-1e-t "t Î [0,+¥[ et comme tn-1e-t est négligeable devant [1/(t2)] au voisinage de +¥, car les exponentielles l'emportent devant les puissances, et que t® [1/(t2)] est intégrable sur [1,+¥[ alors t® tnj(t) est intégrable sur [1,+¥[ et par suite t® [(¶nx)/(¶xn)](x,t) l'est aussi.
Conclusion: t® [(¶nx)/(¶xn)](x,t) est intégrable sur ]0,+¥[, le théorème de dérivation sous signe intégrale permet d'affirmer que [^(y)] est de classe C¥ sur \mathbb R avec: [^(y)](n)(x)=ò0+¥tnj(t)cos(xt+n[(p)/2])dt
Pour tout réel non nul x, on a à l'aide d'une intégration par parties
[^(y)](x)=ò0+¥j(t)cos(xt) dt=[ j(t)[sinxt/x]]t® 0t® +¥-ò0+¥j¢(t)[sinxt/x]dt = [1/x]ò0+¥[(e-t)/t]sin(xt)dt, car d'aprés 2.a |j(t)[sinxt/x]|\leqslant[(e-t)/x]® 0, quand t® +¥ pour x fixé, et d'aprés 2.d j(t)+lnt ~ C+t au voisinage de 0, donc
j(t)[sinxt/x]+[sinxt/x]lnt ~ (C+t)[sinxt/x] quand t® 0 pour x fixé, comme [sinxt/x] ~ t quand t® 0 pour x fixé, alors j(t)[sinxt/x]+tlnt ~ (C+t)t quand t® 0 pour x fixé et donc limt® 0j(t)[sinxt/x]=0, pour x fixé.
Ainsi [^(y)](x)=[F(x)/x], avec F:x® ò0+¥r(x,t)dt telle que F(0)=0 et r(x,t)=[(e-t)/t]sin(xt), donc [^(y)](0)=F¢(0) à condition qu'on peut dériver sous signe intégral, ce qui n'est pas difficile à justifier puisque [(¶r)/(¶x)]:t® e-tcosxt est intégrable sur [0,+¥[ puisque majorée par e-t, intégrable sur [0,+¥[, pour x fixé.
Donc [^(y)](0)=F¢(0)=ò0+¥[(¶r)/(¶x)](0,t)dt=ò0+¥e-tdt=1.
Dans la question précédente on a déjà montré que la fonction F:x® ò\nolimits 0+¥[(e-t)/t]sin(xt)dt est dérivable sur ]0,+¥[ avec F¢(x)=ò0+¥e-tcos(xt) dt, pour tout x > 0, puis on a: F¢(x)=Âeò0+¥e-teixt=Âeò0+¥e(ix-1)t=Âe[ [(e(ix-1)t)/(ix-1)]]t® +¥t® 0=-Âe( [1/(ix-1)]) = [1/(x2+1)] . Notez bien que: |e(ix-1)t|=e-t® 0 quand t® +¥.
D'aprés la question précédente, on a: [^(y)](x)=[(F( x))/x] pour tout réel non nul x, et F est de classe C1 sur ]0,+¥[ avec F¢(x)=[1/(1+x2)] "x > 0, donc F(x)=arctan x+l "x > 0, de même F(x)=arctan x+m "x < 0, donc
^
y
(x) =
arctanx+l
x
"x > 0
arctanx+m
x
"x < 0
1
si x=0
comme [^(y)] est continue sur \mathbb R alors l = m = 0 d'où le résultat.
II.QUELQUES PROPRIÉTÉS DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER D'UNE FONCTION
Transformée de Fourier d'une fonction intégrable
Pour x fixé, on a: |e-ixtf(t)|\leqslant|f(t)| "t Î \mathbb R , or f une fonction continue par morceaux et intégrable sur \mathbb R ; donc t® e-ixtf(t) l'est aussi d'où pour tout réel x, [^f](x)=ò-¥+¥e-ixtf(t)dt est bien définie, en plus |[^f](x)|=|ò-¥+¥e-ixtf(t)dt|\leqslantò-¥+¥|f(t)|dt=M, constante qui ne dépond pas de x et donc la fonction [^f] est bornée .
Si de plus f est continue, alors t® e-ixtf(t) est intégrable sur \mathbb R et x® e-ixtf(t) continue sur \mathbb R , donc [^f] est aussi continue .
Transformations
Soient j1,j2 deux fonctions complexes continues par morceaux et intégrables sur \mathbb R , et l Î \mathbb R alors j1+lj2 est aussi une fonction complexe continues par morceaux et intégrable sur \mathbb R , avec F(j1+lj2)(x)=ò-¥+¥e-ixt(j1+lj2)(t)dt = ò-¥+¥e-ixtj1(t)+lò-¥+¥e-ixtj2(t)dt=F(j1)(x)+lF(j2)(x). et donc F est linéaire .
f est une fonction continue par morceaux et intégrable sur \mathbb R , donc pour tout réel a, les fonctions fa(t) = f(t-a) et af(t)=f(at) sont aussi des fonctions continues par morceaux et intégrables sur \mathbb R et par suite possédent des transformés de Fourier, avec que pour tout réel x, [^(fa)](x)=ò-¥+¥e-ixtf(t-a)dt = e-iaxò-¥+¥e-ixuf(u)du=e-iax[^f](x), en utilisant le changement de variable u=t-a et de même avec le changement de variable v=at on obtient [^(af)](x)=[1/(|a|)][^f]( [x/a]) (a ¹ 0), faites attention ici aux bornes si a < 0 alors -¥ devient +¥ et inversement ce qui justifie le |a|.
La transformée de Fourier de l'application t® f(t)eiat au point x est: ò-¥+¥e-i(x-a)tf(t)dt=[^f](x-a).
Si f est paire alors [^f](x)=ò-¥0e-ixtf(t)dt+ò0¥e-ixtf(t)dt = ò0+¥e-ixtf(t)dt+ò0¥eixuf(-u)du = ò0+¥e-ixtf(t)dt+ò0¥eixuf(u)du = ò0+¥e-ixtf(t)dt+ò0¥eixtf(t)du = 2ò0+¥cos(xt)f(t)dt, on a utilisé le changement de variable u=-t puis on a remplacé u par t puisque sont deux variables muettes.
Si f est impaire on obtient [^f](x)=2iò0+¥sin(xt)f(t)dt.
La transformée de Fourier d'une fonction réelle paire est réelle alors que celle d'une fonction réelle impaire est imaginaire.
Dérivation
f¢ étant intégrable sur \mathbb R , donc ò0xf¢(t)dt=f(x)-f(0) admet une limite finie quad x®+¥, et donc lim+¥f est finie, soit L cette limite, si L ¹ 0 alors |f(x)|®|L| > [(|L|)/2], quand x®+¥, or f est continue, donc un intervalle [A,+¥[ sur lequel |f| > [(|L|)/2], or f est intégrable sur [A,+¥[, donc le fonction constante [(|L|)/2] le sera aussi, ce qui n'est pas le cas, donc L=lim+¥f=0, et de même on montre que lim-¥f=0 .
f¢ étant une fonction continue par morceaux et intégrable sur \mathbb R , donc admet une transformée de Fourrier, définie par la relation: "x Î \mathbb R : [^(f¢)](x)=ò-¥+¥e-ixtf¢(t)dt=[ e-ixtf(t)]t® +¥t® -¥+ixò-¥+¥e-ixtf(t)dt=ix[^f](x) , donc [^f](x)=[([^(f¢)](x))/x] tend vers 0 en ±¥, car [^(f¢)] est bornée en utilisant la question II.1.a pour la fonction f¢.
Le fait que l'application g:t® tf(t) est intégrable sur \mathbb R nous permet d'affirmer que [^f] est de classe C1 sur \mathbb R et de dériver sous le signe intégral ; avec:
"x Î \mathbb R , ( [^f]) ¢(x)=-iò-¥+¥e-ixttf(t)dt=-i[^g](x).
III.UNE FORMULE D'INVERSION
A-Un autre exemple
La fonction h est de classe C1 sur \mathbb R , intégrable sur \mathbb R , et t® th(t) intégrable sur \mathbb R , (car négligeables devant [1/(t2)] en ±¥), donc [^h] est bien définie, dérivable sur \mathbb R avec:
"x Î \mathbb R , [^h]¢(x)=-iò-¥+¥e-ixtte-t2dt=-i[ -e-ixt[(e-t2)/2]]t® +¥t® -¥-[x/2]ò-¥+¥e-ixte-t2dt=-[x/2][^h]¢(x) et donc [^h] satisfait l'équation différentielle: y¢+[x/2]y=0.
La solution générale de l'équation différentielle (1) est de la forme y(x)=le-[(x2)/4], donc [^h](x)=le-[(x2)/4] où l = [^h](0)=ò-¥+¥e-t2dt=Ö{p}.
e-et2=Ö{e}h(t), donc d'aprés la question II.2.b la transformée de Fourier de la fonction t® e-et2,e > 0 est: [1/(Ö{e})][^h]( [x/(Ö{e})]) = Ö{[(p)/(e)]}e-[(x2)/(4e)].
B-Application à la formule d'inversion
Soit les vn Î C0(\mathbb R ) définies par vn(y)=v(y)e-eny2, se sont des fonctions intégrables sur \mathbb R car dominées par v intégrables sur \mathbb R , et qui de plus convergent simplement vers v. En utilisant le théorème de la convergence dominée, on a que:
limn®+¥ò-¥+¥v(y)e-eny2dy=ò-¥+¥limn®+¥v(y)e-eny2dy=ò-¥+¥v(y)dy.
Même que précédement, poser wn(y)=w(x+eny)e-y2 c'est une fonction intégrable sur \mathbb R car bornée par la fonction intégrable y®sup\mathbb R |w|e-y2, de plus limn®+¥wn(y)=w(x)e-y2, donc
limn®+¥ò-¥+¥w(x+eny)e-y2dy=ò-¥+¥limn®+¥w(x+eny)e-y2dy=ò-¥+¥w(x)e-y2dy=w(x)ò-¥+¥e-y2dy=w(x)Ö{p}.
Pour tout n Î \mathbb N et tout x Î \mathbb R , on a, et ceci d'aprés la question III.A.3 ò-¥+¥e-iy(t-x)-eny2dy=[1/(Ö{en})][^h]( [(t-x)/(Ö{en})]) = Ö{[(p)/(en)]}e-[((t-x)2)/(4en)], donc
ò-¥+¥f(t)( ò-¥+¥e-iy(t-x)-eny2dy) dt = ò-¥+¥f(t)Ö{[(p)/(en)]}e-[((t-x)2)/(4en)]dt=2Ö{p}ò-¥+¥f(x+2Ö{ens})e-s2ds, en effectuant le changement de variable s=[(t-x)/(2Ö{en})].
C'est le théorème de Fubini qui nous permet d'intervertir les deux intégrales, puisqu'il s'agit d'une fonction continue sur le carré [-p,p]×[-q,q].
Posons, pour tout y Î \mathbb R ,fq(y)=eixy-ey2( ò-qqf(t)e-iytdt), on a:
limq® +¥fq(y)=eixy-ey2ò-¥+¥ f(t)e-iytdt et |fq(y)|\leqslant2qsup\mathbb R |f|e-ey2, majorée normalement par une fonction intégrable sur \mathbb R , donc limq® +¥fq est intégrable sur \mathbb R avec
limq® +¥ò-¥+¥fq(y)dy=ò-¥+¥limq® +¥fq(y)dy, ce qui donne pour tout e > 0,
limq® +¥ò-¥+¥eixy-ey2( ò\nolimits -qqf(t)e-iytdt) dy=ò\nolimits -¥+¥eixy-ey2(ò\nolimits -¥+¥ f(t)e-iytdt) dy.
Le même raisonnement que précédement en posant cette fois gq(t)=f(t)(ò\nolimits -pp e-iy(t-x)-ey2dy), et faire tendre p vers +¥ nous permet d'affirmer aussi que pour tout entier naturel non nul q et tout e > 0,
limp® +¥ò\nolimits -qqf(t)(ò\nolimits -pp e-iy(t-x)-ey2dy) dt=ò\nolimits -qqf(t)(ò\nolimits -¥+¥ e-iy(t-x)-ey2dy) dt.
Conclusion immédiate des question précédents.
D'aprés les questions III.B.2. et III.B.3.c, en remplaçant e par en où (en)n une suite de réels strictement positifs tendant vers 0, on a : 2Ö{p}ò\nolimits -¥+¥f(x+2Ö{ens})e-s2ds=ò\nolimits -¥+¥eixy-ey2[^f](y)dy. Et aprés avoir vérifié qu'on peut intervertir limites et intégrales, chose qui n'est pas difficile puisque eixy-en y2[^f](y) sont normalement bornées par [^f], intégrable sur \mathbb R et f(x+2Ö{ens})e-s2 sont normalement bornées par sup\mathbb R |f|e-s2, intégrable sur \mathbb R aussi, donc qund n®+¥, on obtient: pour tout x Î \mathbb R ,
[1/(2p)]ò-¥+¥f(x)e-s2ds=ò\nolimits -¥+¥eixy[^f](y)dy, comme ò-¥+¥e-s2ds=Ö{p}, on a le résultat.