2 DIMENSIONS DE QUELQUES ESPACE VECTORIEL

Résumé de cours : Espaces vectroriels.
PARTIE II : Dimension �nie.

MPSI-Maths. Mr Mamouni : mamouni.myismail@gmail.com Source disponible sur:

                                                                                                           \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}http://www.chez.com/myismail

1 Notions préliminaires

Définition 1. Un espace vectoriel est dit de dimension finie s’il admet au moins une famille génératrice finie.

Théoréme 1. Théorème de la base incompléte Toute famille libre d’un espace vectoriel de dimension finie peut être complétée par des éléments de n’importe quelle famille génératrice finie pour avoir une base.

Corollaire 1. Tout espace vectoriel de dimension finie admet au moins une base finie.

Théoréme 2. Dans un 𝕂-ev, E, de dimension finie toutes les bases sont finie et ont même cardinal, leur cardinal commun s’appelle base de E et se note dim_{𝕂}(E).

Théoréme 3. Soit E un 𝕂-ev de dimension n, alors toutes les familles libres sont de cardinal inférieur à n et touttes les familles génératrices sont de cardinal supérieur à n. En particulier, si B est une famille d’éléments de E on a le résultat suivant :

B est une base de E ⟺ B est libre de cardinal n

⟺ B est génératrice de cardinal n

2 Dimensions de quelques espace vectoriel

Théoréme 4. Si E est un 𝕂-ev de dimension finie, alors tout sous espace vectoriel , F de E est de dimension finie inférieur à celle de E, avec égalité si et seulement si E = F. Avec la convenion que {0_{E}} est le seul sous espace vectoriel de dimension nulle.

Théoréme 5. Si E et F sont deux 𝕂-ev de dimension finie, alors E × F sont aussi de dimension finie avec l’égalité :

dim_{𝕂}(E × F) = dim_{𝕂}(E) + dim_{𝕂}(F)

Corollaire 2. dim_{𝕂}(𝕂^{n}) = n.

Théoréme 6. Soit F et G deux sous espace vectoriel d’un 𝕂-ev , E, de dimension finie tels que F ∩ G = {0_{E}}, alors :

dim_{𝕂}(F ⊕ G) = dim_{𝕂}(F) + dim_{𝕂}(G)
Corollaire  3. Si  F  et  G  sont  deux

sous espace vectoriel supplémenataires d’un 𝕂-ev , E, de dimension finie alors : dim_{𝕂}(G) = dim_{𝕂}(E) − dim_{𝕂}(F).

Corollaire 4. Soit F et G deux sous espace vectoriel d’un 𝕂-ev , E, de dimension finie alors :

dim_{𝕂}(F + G) = dim_{𝕂}(F) + dim_{𝕂}(G) − dim_{𝕂}(F ∩ G)

3 APPLICATIONS LINÉAIRES EN DIMENSION FINIE.

3 Applications linéaires en dimension finie.

3.1 Résultats généraux

Théoréme 7. Tout 𝕂-ev de dimension n est isomorphe à 𝕂^{n}.

Théoréme 8. Deux 𝕂-ev de dimension finie sont isomorphe si et seulement si ils sont de même dimension.

Théoréme 9. Soit u : E → F linéaire, avec E de dimension finie. Alors :

u est un isomorphisme ⟺ u transforme toute base de E

en une base de F

⟺ u transforme au moins une base de E

en une base de F

Théoréme 10. Soient E et F deux 𝕂-ev de dimensions finies, alors L_{𝕂}(E, F) est de dimension finie avec l’égalité : dim_{𝕂}(L_{𝕂}(E, F)) = dim_{𝕂}(E). dim_{𝕂}(F).

Corollaire 5. Si E est une 𝕂-ev de dimension finie, alors son espace dual, E^{∗} est aussi de dimension finie avec : dim_{𝕂}(E^{∗}) = dim_{𝕂}(E).

Corollaire 6. Si E est une 𝕂-ev de dimension finie égale à n et B = (e_{i})_{1≤i≤n} une base de E, alors il existe une unique base de E^{∗}, notée B^{∗} = (e_{i}^{∗})_{1≤i≤n} et appelée base duale de B vérifiant la propriétés suivante : \begin{aligned}e^{∗}(e_{j}) & = 1 si i = j \\ & = 0 sinon \end{aligned}

Théoréme 11. Une application linéaire est entiérement déterminée par ses valeurs sur une base de l’ensemble de départ.

3.2 Rang d’une application linéaire

Définition 2. Le rang d’une application linéaire, u est par définition la dimension de son image, on le note rg(u), autrement dit : rg(u) = dim_{𝕂} Im (u).

Théoréme 12. Formule du rang

Soit u : E → F linéaire avec E un 𝕂-ev de dimension finie, on a le résultat suivant :

dim_{𝕂} E = dim_{𝕂} ker u + dim_{𝕂} Im (u)

Corollaire 7. Le rang est invariant par composition à gauche ou a droite par un isomorphisme. Autrement dit si u est linéaire et v isomorphisme alors : rg(v ∘ u) = rg(u) et rg(u ∘ v) = rg(u).

Corollaire 8. Soient E et F deux 𝕂-ev de dimensions finies et égales, on a les équivalences suivantes :

u isomorphisme ⟺ u injective

⟺ u injective

3.3 Formes linéaires et hyperplans

Définition 3. Soit E un 𝕂-ev de dimension finie égale à n, on appelle hyperplan de E tout sous espace vectoriel de E de dimension n − 1.

Propriétés.

– Soit E un 𝕂-ev de dimension finie et φ une forme linéaire sur E non nulle, alors ker φ est un hyperplan de E, en particulier φ est surjective.

– Soit E un 𝕂-ev de dimension finie et H un hyperplan de E, alors il existe une forme linéaire φ telle que H = ker φ.

– Soit E un 𝕂-ev de dimension finie, deux formes linéaires sur E de même noyau sont proportionnelles.

– Tout hyperplan H d’un 𝕂-ev de dimension finie E égale à n admet une équation de la forme H : a_{1}x_{1} + … a_{n}x_{n} = 0 unique à une constante multiplicative prés.

Fin.