Master: Topologie Algèbrique et Robotique   

 

  Faculté des Sc. Ain Chock, Casablanca-CRMEF Rabat 

 

  Module: Topologie Robotique  

Introduction | Objectif | Contenu | Références | Chapitres |

 

 Introduction  

Depuis que les oeuvres littéraires de Capek et Asimov, l'humanité a été fascinée par les robots. La recherche moderne en robotique révèle que, au sein de nombreuses autres branches des mathématiques, la topologie a un rôle fondamental à jouer dans la transformation de ces grandes idées en une réalité. La topologie robotique est alors une nouvelle discipline située à la croisée des chemins de la topologie, de l'ingénierie et de l'informatique. L'étudiant est amené à étudier les problèmes topologiques purs inspirés par la robotique et l'ingénierie et, d'autre part, l'application des idées de la philosophie topologique et outils de la topologie algébrique pour résoudre des problèmes spécifiques de l'ingénierie et de l'informatique.

 Objectif  

  • Maîtriser les outils de base de la topologie robotique, notamment la notion de complexité topologique
  • Se familiariser avec les calculs exacts ou approchés (encadrements) de la complexité topologique
  • Se familiariser avec les interprétations de la complexité topologique à l'aide des espaces de configuration, de planification et stabilité du mouvement de robots.

 Contenu  

  • La « sectional category » d'une fibration p : E --> B, noté secat(p), est le plus petit entier n tel que B peut être couvert par n + 1 parties ouvertes tel que sur chacune de ses parties p admet une section. Si ce n'est pas possible, on pose secat(p) = 1. Cet invariant a été introduit par A. S. Schwarz à la fin des années 50 comme une généralisation de la catégorie de Lusternik–Schnirelmann. Il permet de mesurer la complexité de quelques algorithmes comme celui de localisation des racines d'équations algébriques (S. Smale, 1987). On va donner un compte rendu des propriétés principales de secat (p) et expliquer comment on peut la calculer, dans des cas particuliers, ou l'approcher par des encadrements dans le cas général. Le cas rationnel sera aussi traité comme cas particulier, mais fondamental
  • Le problème de planification de mouvement d'un robot conduit à un invariant d’homotopie intéressant TC (X) qui mesure la stabilité de navigation dans l’espace topologique X, considéré comme une espace de configuration d'un système mécanique. le calcul de cette complexité constitue un problème topologique subtil inspiré de la physique des systèmes. On va donner un compte rendu des propriétés principales de TC (X) et expliquer comment on peut calculer, dans des cas particuliers, TC (X) en utilisant l'algèbre de cohomologie de X et de l'action des opérations de cohomologie. On va aussi parler de certains problèmes planification de mouvement, par exemple le problème de contrôle et coordination de la collision entre beaucoup de particules en mouvement.

 

 Chapitres  

 Références  

  1. Octav Cornea, Gregory Lupton, John Oprea, Daniel Tanré, Lusternik-Schnirelmann category, Mathematical Surveys and Monographs, 103. American Mathematical Society,  Providence, RI, 2003 ISBN 0-8218-3404-5
  2. Michael Farber,  Topology and Robotics, Advanced Courses in Topology and Applications, CATA 07 October 29-31, 2007, Málaga, Spain
  3. Hess, Kathryn, "A history of rational homotopy theory", in James, I. M., History of topology, Amsterdam: North-Holland, (1999) pp. 757–796
  4. Yves Felix and Stephen Halperin, Rational L.-S. Category and Its Applications, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 273, No. 1 (1982), pp. 1-37
  5. B. Jessup, A. Murillo, and P.-E. Parent, Rational topological complexity, Algebr. Geom.Topol.Vol. 12 (2012), no. 3, 1789–1801.